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前言:
刚使用这个notion不久,加上这个笔记之前写的md格式的,不是用这个写的,所以直接搬过来再稍微修改格式可能不太美观,还请见谅
第一章 行列式
1.1 二三阶行列式
- 二阶行列式
形如:
称为二阶行列式,构成行列式的数称为==元素==,称为行列式D的第i行第j列元素
- 主对角线:\,副对角线/
- 三阶行列式
对于三元线性方程组
我们引入三阶行列式
其中,D称之为方程组的==系数行列式==
1.2 n阶行列式
一. 排列的逆序与奇偶性
- n级排列: n个自然数按照按照一定的次序排成的一个数组
- 自然排列:称为自然排列
- 逆序数: 较大的数排在较小数的前面,称这两个数构成逆序,逆序数即为排列中逆序的总数
- 奇(偶)排列:逆序数为奇(偶)数的排列
- 对换:两个数互换位置,相邻两个数对换称为临换
- 一次对换改变排列奇偶性
二. n阶行列式的定义
符号
表示n阶行列式,有n!项相加,每一项符号为决定
上(下)三角行列式:主对角线上(下)面元素全为0的行列式,除主对角线全为0的为对角行列式()
主对角线上(下)三角行列式:
副对角线上(下)三角行列式:
三. 行列式的性质
性质1:行列式与它的转置行列式相等
- 转置行列式:把行列式D的行和列互换,记作,显然
性质2:交换行列式两行(两列),行列式改变符号
- 推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式等于0
性质3:一个数k乘行列式,等于行列式某一行(列)的所有元素乘以k(也就是说,行列式某一行或列有公因子可以提到外面)
- 推论:如果有两行(列)对应成比例,则行列式等于0
性质4:如果行列式的某一行(列)可以表示为两项的和,则该行列式可以表示为两个行列式的和
==性质5: 行列式的第i行(列)元素的k倍加到第j行(列)的对应元素上,行列式的值不变==
1.3行列式按行(列)展开
一. 余子式与代数余子式
k阶子式:行列式D中取k行k列,交叉元素构成的行列式称为行列式D的k阶子式
代数余子式:把所在的行和列划去后,剩下的行列式叫做的余子式,记作,称,叫做的==代数余子式==
二. 行列式按行(列)展开法则
- 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即
- 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 显然,如此相乘无异于把行列式D的"另外一行"替换为"某一行",求出来的值相当于包含两个相同的"某一行",其他数值不变的D',显然D'=0
- 范德蒙德行列式:
1.4 克莱姆(Cramer)法则
- 克莱姆(Cramer)法则:含有n个未知量和方程的线性方程组,当系数行列式时, 其中为把D的第j列替换为方程组的常数列得到的行列式(例子参考1.1)
第二章 矩阵
2.1 线性变换的定义及矩阵的概念
一. 线性变换(linear transformation):
线性变换的定义,,,,,文字不太好解释,且抽象,推荐去看bilibili中3b1b的"线性代数的本质"从几何意义上对线性变换有个直观的理解
线性变换可以理解为对空间的挤压伸展,且保持"网格线平行且等距"的变换
变换和函数(function)类似,都是接收输入内容,并且输出对应结果,在线代的情况下,我们考虑变换是接收一个向量(vector),并且输出一个向量.变换这个词暗示你用“运动”去思考
二. 矩阵
形如:
称为m行n列矩阵,简称矩阵,记作或称为矩阵A的第i行第j列元素
接下来介绍一些不太重要的定义:如果矩阵A全为实数,则称为实矩阵,如果A的元素含有复数,则称为复矩阵,全为零的称为零矩阵,记作或,只有一行(列)的称为行(列)矩阵
如果行数和列数相等,则称为n阶矩阵或n阶方阵,除主对角线其他元素全为零的方阵称为n阶对角矩阵,记作,主对角线全为1的n阶对角矩阵称为==n阶单位矩阵==,记作==或==,主对角线全为k的n阶对角矩阵称为n阶数量矩阵,记作,主对角线上(下)方全为零的方阵称为上(下)三角矩阵,行数和列数相等的两个矩阵称为同型矩阵
2.2 矩阵的线性运算,乘法和转置运算
一. 矩阵的加减法
同型矩阵对应位置相加减,满足交换律,结合律
二. 矩阵数乘
数k乘一个矩阵等于数k乘以矩阵A的每一个元素,即
三. 矩阵的乘法
- 设矩阵A为m行s列的矩阵,矩阵B是s行n列的矩阵,则乘积为m行n列的矩阵C
- 等于矩阵A的第i行与矩阵B第j列对应元素乘积之和
- 左边的矩阵的列数等于右边矩阵的行数才有意义
- 一般不满足交换律和消去律:即:
- 满足结合律分配律,即
- 就是k个A相乘
四. 转置矩阵与对称方阵
转置矩阵:把m×n矩阵A的行与列互换,得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵
有如下规律:
- ====
如果,则称A为对称矩阵,如果,则称A为反对称矩阵
五.方阵的行列式
就是与方阵元素位置一样的行列式,记作|A|或者
有如下规律:
- (矩阵数乘是乘矩阵每一个元素,而行列式是乘以某一行或者某一列元素)
2.3 逆矩阵
一.逆矩阵的定义
设A是n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B,使得,则称矩阵A可逆,并称B是A的逆矩阵,记作,即
实际上就是变换A的逆过程:
二. 矩阵可逆的充要条件
(1) 矩阵𝑨𝑨可逆的充要条件是；
(2) 伴随矩阵，是将矩阵𝑨中每个位置的代数余子式求出后进行转置；
(3) 逆矩阵
- 若|A|≠0,则称A为满秩矩阵(非奇异矩阵),反之,称为降秩矩阵(奇异矩阵)
三. 可逆矩阵的性质
- ====
伴随矩阵的一些性质:
(其他性质类似于可逆矩阵性质)
四. 用逆矩阵求解线性方程组
AX=b,若,则
2.4 分块矩阵
一. 分块矩阵的概念
- 用横线和竖线把矩阵分成若干小矩阵,每一块称为A的小块(或子矩阵)
二. 分块矩阵的运算
- 分块矩阵加法 对应元素相加(对两矩阵的切分方法要一致)
- 数乘 和普通矩阵数乘差不多,不多赘述
- 分块矩阵的转置 文字不太好解释直接上示例:
- 分块矩阵的乘法 对矩阵𝑨的列切分方式要与𝑩的行切分方式一致 比如:
- 分块三角矩阵
若A_1,A_2分别为m阶和n阶方阵,则:
若则:
2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵
一. 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换有以下3种变换:
(1)交换矩阵的某两行(列)
(2)用k(不为0)乘某一行(列)的所有元素
(3)某一行(列)乘以k倍加到另外一行(列)上
列变换把r(row)改成c(column)就行
二.初等矩阵
对单位矩阵E进行一次初等行变换或者列变换，这样的矩阵称之为初等矩阵
- 设𝐴是一个𝑚 × 𝑛阶矩阵，对𝐴实施一次初等行变换，等效于在其左侧乘以相应的𝑚阶初等矩阵； 设𝐴是一个𝑚 × 𝑛阶矩阵，对𝐴实施一次初等列变换，等效于在其右侧乘以相应的𝑛阶初等矩阵。
三.求逆矩阵的初等变换方法
- 若n阶矩阵A可逆，则可以通过行初等变换将A化为单位矩阵E 推论:方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为有限个初等矩阵的乘积
利用行初等变换求逆矩阵的方法:将矩阵𝑨与𝑬并排放在一起，𝑬要与𝑨进行相同的行变换，如果将矩阵𝑨通过行变换逐步转化为单位矩阵，这时𝑬就变成了
2.6 矩阵的秩
- k阶子式:在矩阵A中任取k行k列,位于k行k列交叉位置的元素组成的k阶行列式
- 行阶梯型矩阵:
- 如果有全为0的行,该行排在非全0行的下面
- 从第一行起，下面每一行自左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加
矩阵秩的求法:通过阶梯型行变换(变换为阶梯型行列式)后,矩阵中不全为0的行数，定义为秩，矩阵𝑨的秩记为𝒓(𝑨)
- 等价矩阵:如果矩阵A经过初等变换为矩阵B,则称A与B等价,记作 具有以下性质:
第三章 线性方程组
3.1 高斯(Gauss)消元法
一. 基本概念
含有n个未知量m个线性方程组的一般形式为:
方程组的矩阵形式为:
- 系数矩阵:记上述的A为系数矩阵
- 增广矩阵:记 称为A的增广矩阵
若b全为0,则为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组
若方程组有解,则称方程组是相容的,否则就是不相容的
二. 高斯消元法
跟初高中那套方法差不多,只不过这里直接对增广矩阵进行初等行变换为行阶梯型矩阵,然后再代回去,看起来好看点
接下来讨论方程组解的个数与矩阵秩的关系:
为了介绍无数解中自由变量和主元的概念,我们先引入一个例题
例:
易得系数矩阵秩<变量数,所以有无数解,我们让其中一个变量任取,其他变量的值就可以跟着确定了
我们称类似于z的为自由变量,我们将每一行第一个非零数字的位置称之为主元
当有无数解时,有(变量个数-系数矩阵的秩)个自由变量,优先选则对应列不存在主元的作为自由变量,比如在例子中主元在第一列和第二列,我们就选取第三列对应的变量z作为自由变量
3.2 n维向量组的线性相关性
一. n维向量的概念
数域F上的n个数组成的有序数组称为数域F上的一个n维向量,记作
可写成矩阵的形式:
- 行向量:
- 列向量:
基本(单位)向量:n维向量中,一个元素为1,其它全为0的向量
n维向量组的运算规则和矩阵运算规则无异
二. 向量间的线性关系
- 线性组合: 给定多个向量,如果存在一组数,使可以表示为,则称是向量组的线性组合,或者说向量可以由向量组表示
向量可以由向量组表示的充要条件为
三. 向量组间的线性相关
- 对于向量组,如果存在不全为0的实数使得,则称线性相关,如果只有全为 0 时才能使上等式成立，则称该向量组是线性无关的。 𝑛个向量组成的向量组将其组成一个矩阵，该矩阵的秩代表了该向量组所能线性表示的空间维数。
- 假设有𝑛个𝑛维向量：,其下说法是等价的： （1）这些向量是线性无关的； （2）可以唯一确定地表示出任意𝑛维向量； （3）矩阵的秩为𝑛； （4）行列式不等于 0.
3.3 极大线性无关组
- 向量组的等价:对于两个向量组，如果两个向量组中每个向量可以被另外一个向量组可以线性表示，则两个向量组被称之为等价的
- 极大线性无关组:向量组部分向量线性无关,所有的向量都可以由这部分向量表示,这时我们称这部分向量组为极大线性无关组 求最大无关组的方法：将向量形成的矩阵进行阶梯型行化简，主元所处的位置对应的向量位置即为最大无关组。
3.4 线性方程组解的结构
- 基础解系:如果存在一组线性无关的向量是齐次线性方程组的解,那就称这组向量为方程组的基础解系,这些向量为解向量
- 易得的个数为n-r个(:基础解系中向量,n:方程中变量个数,r:矩阵的秩)
- 非齐次方程组的通解=齐次方程组的通解+非齐次方程组的特解 不难得出,把的方程组转换为齐次线性方程组(等号右边的数全部改为0),方程组的解就变为 计算方面略,挺简单的
- 一些小结论:
- 若的解,那么也是的解
- 若是的解,那么是的解,是AX=b的解(上述两个小结论把代入到方程组,就能轻易证明)
第四章 相似矩阵
4.1 特征值与特征向量
- 设A为n阶方阵,如果存在数以及非0列向量使得,则称为A的一个特征值,是A的属于特征值的一个特征向量 注： n阶矩阵的特征值有且仅有n个，但有无数个，且每一个都拥有无数个属于它的特征向量.
- 求特征值特征向量方法 先求出所有的特征值，再计算每个特征值对应的,然后解出特征值,再把代回方程,从而解得
- 一些重要结论:
- 特征值之和等于𝐴的对角线元素之和，特征值之积等于行列式|𝐴|
- ==属于不同特征值的特征向量，一定线性无关；==
- 属于同一个特征值的特征向量，组合起来以后仍然是该特征值的特征向量；
- 属于不同特征值的特征向量，组合起来以后不再是矩阵A的特征向量；
- ==若是A的k重特征值，则最多只有k个线性无关的特征向量==
- 与有相同特征值，AB与BA有相同特征值
4.2 相似对角化
- 矩阵的相似:对于n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得,则称A与B相似,记作
- 相似对角化:对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P,使得(为对角矩阵),则称A可相似对角化,记作 如何判断矩阵能否相似对角化? 不难发现,最后这个形式恰好和4.1特征值特征向量定义相吻合,要证明矩阵能相似对角化,只需要让上述推导过程中的,也就是让P可逆即可. 如何保证P可逆呢,只要让线性无关即可,又由于4.1中的两个==高亮==结论,可得只需要保证k重特征值有k个线性无关的特征向量即可.
- 一些重要性质和结论:
- 若A有n个无关的特征向量,则A一定可以相似对角化(充要条件)
- 实对称矩阵一定可以相似对角化(充分条件)
- 若 ,则(主对角线元素之和),A和B的特征值相同,
4.3 实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵:元素全部为实数的对称矩阵
正交阵:,也就是
- 实对称矩阵的一些性质:
- 特征值全为实数
- 取自不同特征值的特征向量全部正交
- 一定可以正交
- 对于实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q,使得
其中正交矩阵Q中的特征向量均为单位向量,并且全部正交
那么如何得到正交矩阵Q呢?不难发现,我们只需要把P中的全部变成正交的单位向量即可,变成单位向量简单,让就可以了,麻烦的就是让它们正交化,下面就简单介绍一下二维向量的施密特正交化(高纬度的我也想象不出来)
- 施密特正交化
对于n维的向量施密特正交化:
4.3 二次型
一.二次型的定义:
含有n个变量的二次齐次多项式,例如:这种
二.二次型矩阵
- 定义:一个定义在上的二次型,如果它在向量x处的值可由表达式计算,其中A为的对称矩阵,那么对称矩阵A就称为该二次型对应的矩阵 不妨举两个例子加深对二次型矩阵的理解:
在某些情况下,没有交叉项的二次型(即二次型对应的矩阵为对角矩阵)会显得更容易运用,我们称这样的二次型为标准形,要想消去交叉项,我们可以通过一些变量代换来实现
三. 二次型标准化的方法
变量代换通常是,其中P是可逆矩阵
如果用变量代换处理就得到了
要得到标准形,只需要让这个矩阵为对角矩阵即可
合同对角化:如果存在一个可逆矩阵P,使得,此时称A可以合同对角化
正交变换法:
那么就可以通过变换将二次型变为标准形,简要总结一下步骤:
- 根据二次型(以三元二次型为例)写出实对称矩阵A
- 求正交矩阵Q,使得
- 下结论,做变换,二次型就变成了标准形 不难发现,其中的还恰好是矩阵A的特征值
简单的来做个题吧!
已知二次型,将其化为标准形
(懒得打字了,直接上草稿吧)
- 配方法: 就初高中学的配方,需要注意的就是平方项前面的系数就不一定是矩阵A的特征值了
四.惯性定理和规范形
- 惯性定理:二次形的标准形不唯一,但标准形的正负项的个数是唯一确定的,分别称之为二次形的正,负惯性指标
- 规范形:正系数全是1且负系数全是-1的标准形，称为规范形. 虽然标准形并不唯一，但规范形一定是唯一的 对于任何一个标准形,都可以经过可逆线性变换化成规范形
五. 正定二次型和正定矩阵
- 定义:对于二次型,若对任意的恒有，则称该
二次型为正定二次型，并将该二次型对应的矩阵A称为正定矩阵
- 如何判断二次型是否正定?
- 对任意的,恒有
- A的特征值全为正
- n阶矩阵A的正惯性指标
- A的顺序主子式均大于零